Главная
Статьи





09.10.2022


09.10.2022


09.10.2022


09.10.2022


08.10.2022






Принцип максимума модуля

05.08.2022

Формулировка

Если f {displaystyle f} голоморфна в некоторой области G ⊂ C n {displaystyle Gsubset mathbb {C} ^{n}} и существует точка z 0 ∈ G {displaystyle z_{0}in G} такая, что во всей области G {displaystyle G} выполняется неравенство | f ( z 0 ) | ⩾ | f ( z ) | {displaystyle |f(z_{0})|geqslant |f(z)|} , то f ( z ) ≡ c o n s t {displaystyle f(z)equiv mathrm {const} } .

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области G {displaystyle G} .

Следствия

  • Принцип минимума модуля. Если f {displaystyle f} аналитична в некоторой области G ⊂ C n {displaystyle Gsubset mathbb {C} ^{n}} , не обращается там в нуль, и существует точка z 0 ∈ G {displaystyle z_{0}in G} такая, что во всей области G {displaystyle G} выполняется неравенство | f ( z 0 ) | ⩽ | f ( z ) | {displaystyle |f(z_{0})|leqslant |f(z)|} , то f ( z ) ≡ c o n s t {displaystyle f(z)equiv mathrm {const} } . (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
  • Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции f ( z ) {displaystyle f(z)} в точке z 0 ∈ G {displaystyle z_{0}in G} достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция f ( z ) {displaystyle f(z)} есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций e f ( z ) {displaystyle e^{f(z)}} и e i f ( z ) {displaystyle e^{if(z)}} , а также равенство | e f ( z ) | = e R e f ( z ) {displaystyle left|e^{f(z)} ight|=e^{mathrm {Re} ,f(z)}} .)

  • Пусть K ⊂ C n {displaystyle Ksubset mathbb {C} ^{n}} — компактное подмножество. Для всякой функции f {displaystyle f} , непрерывной на K {displaystyle K} и аналитичной внутри K {displaystyle K} , выполнено равенство:
‖ f ‖ K = ‖ f ‖ ∂ K . {displaystyle |f|_{K}=|f|_{partial K}.}

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта K {displaystyle K} , тогда она сходится равномерно на всём K {displaystyle K} .