Аксиома бесконечности

Аксиомой бесконечности (англ. axiom of infinity) называется следующее высказывание теории множеств:

∃ a   ( ∅ ∈ a   ∧   ∀ b   ( b ∈ a → b ∪ { b } ∈ a )   ) {displaystyle exists a (varnothing in a land forall b (bin a o bcup {b}in a) )} , где b ∪ { b } = { c :   c ∈ b   ∨   c = b } {displaystyle bcup {b}={c: cin b lor c=b}}

Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества.

Другие формулировки аксиомы бесконечности

∃ a ∞   ( ∃ a ∅   ( a ∅ ∈ a ∞   ∧   ∀ b   ( b ∉ a ∅ ) )     ∧     ∀ b ∃ c ∀ d   ( b ∈ a ∞ → ( c ∈ a ∞   ∧   ( d ∈ c ↔ d ∈ b   ∨   d = b ) ) ) ) {displaystyle exists a_{infty } (exists a_{varnothing } (a_{varnothing }in a_{infty } land forall b (b otin a_{varnothing })) land forall bexists cforall d (bin a_{infty } o (cin a_{infty } land (din cleftrightarrow din b lor d=b))))}

∃ a ∞   ( ∃ a ∅   ( a ∅ ∈ a ∞   ∧   ∀ b   ( b ∉ a ∅ ) )     ∧     ∀ b ∀ c ∃ d   ( b ∈ a ∞ → ( ( d ∈ c ↔ d ∈ b   ∨   d = b ) → c ∈ a ∞ ) ) ) {displaystyle exists a_{infty } (exists a_{varnothing } (a_{varnothing }in a_{infty } land forall b (b otin a_{varnothing })) land forall bforall cexists d (bin a_{infty } o ((din cleftrightarrow din b lor d=b) o cin a_{infty })))}